Calcolo Esempi

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (x) - \ln (4)}{x - 4}$

Passaggio 1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x - 4}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{4}{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Passaggio 2.3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 2.3.12

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Passaggio 2.3.13

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$