Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{8}{x^{2} - 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{x}{x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x^{2} - 4) (x - 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{8}{x^{2} - 4}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{x}{x - 2}$ per $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x^{2} - 4) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 2^{+}} x - 2 - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.8

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.9

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{8 (2 - 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.1.3

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.1.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.1.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.2.10.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2 \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Passaggio 2.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Passaggio 2.1.3.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Passaggio 2.1.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Passaggio 2.1.3.6

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Passaggio 2.1.3.7

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Passaggio 2.1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Passaggio 2.1.3.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Passaggio 2.1.3.8.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Passaggio 2.1.3.8.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.8.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.8.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 (x - 2)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.3.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x (x^{2} - 4)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.7

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.11

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.12

Moltiplica $x^{2} - 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.4.13

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2}) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.5.2.3

Somma $8$ e $4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.10

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Passaggio 2.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Passaggio 2.3.14

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.15

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $x^{2} - 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.17.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.3.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Passaggio 2.3.17.3.6

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} - 3 x^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{- lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 4 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Somma $- 12$ e $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Passaggio 3.1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.3.6

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.3.7.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.3.7.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.3.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Passaggio 3.1.3.7.2

Sottrai $8$ da $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Passaggio 3.1.3.7.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.7.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.5

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Passaggio 3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 4 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.7.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.8.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + 0}$

Passaggio 3.3.10

Somma $6 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $6 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{6 x - 4}$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) - 4}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Passaggio 3.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Passaggio 3.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x}{3 x - 2}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{3 x - 2}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - 2}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $- 1$ da $3 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $- (- 3 \cdot 2 + 2)$ come $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Passaggio 6.1.5

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Passaggio 6.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Passaggio 6.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Passaggio 6.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 \frac{1}{- 1 (- 3 + 1)}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- 3 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 3 + 1)}$

Passaggio 6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 (- \frac{1}{- 3 + 1})$

Passaggio 6.3

Somma $- 3$ e $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{- 2})$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 (- - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 (1 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.6

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2}$