Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ come $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ spostando $\tan (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

Passaggio 3

Riscrivi $\tan (x) \ln (\sin (x))$ come $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Passaggio 4.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (\sin (x))$ diminuisce senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.3.1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 4.1.3.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Passaggio 4.1.3.1.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Passaggio 4.1.3.2

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 4.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 4.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 4.3.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 4.3.5

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 4.3.7

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 4.3.8

Semplifica.

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Passaggio 4.3.8.1

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 4.3.8.2

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.10

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.11

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.12

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.14

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.15

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.16

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.17

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.19

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20

Semplifica.

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Passaggio 4.3.20.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.20.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20.1.4

Applica l'identità pitagorica.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.6.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Passaggio 4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Passaggio 4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

Passaggio 4.6.2.4

Dividi $\cos (x) \sin (x)$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Passaggio 5.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 7.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- 1 \cdot 0}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$