Calcolo Esempi

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Passaggio 1

Dividi $t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ per $t^{2} + 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $t^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t^{2}$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $t^{3} + 3 t^{2} + 0$

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 t^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t^{2}$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 t^{2} + 6 t + 0$

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $t$ da $t^{2} + 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $t$ da $3 t$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

Passaggio 5.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $t (t + 3)$ .

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.5

Elimina il fattore comune di $t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.5.2

Dividi $t + 1$ per $1$ .

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Dividi $A (t + 3)$ per $1$ .

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.6.4

Elimina il fattore comune di $t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

Passaggio 5.1.6.4.2

Dividi $(B) (t)$ per $1$ .

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

Passaggio 5.1.7

Sposta $3 A$ .

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $t$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $t$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 3 A$

Passaggio 5.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 3 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$1 = A + B$

Passaggio 5.3.1.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 1$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Passaggio 5.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Passaggio 5.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = \frac{1}{3} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{t + 3}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Passaggio 9

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

Passaggio 10

Sia $u = t + 3$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = t + 3$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 3$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$