Calcolo Esempi

$\int \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$0 + 7$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $7$ .

$7$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Passaggio 2

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ come $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{7 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{3}{28} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 7 x$ .

$\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$