Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{3}$ nel numeratore.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $1$ in $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ .

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ .

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ come ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica.

$- 4 + K = 1^{3}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 + K = 1$

Passaggio 6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 + 4$

Passaggio 6.4.2

Somma $1$ e $4$ .

$K = 5$

Passaggio 7

Sostituisci $5$ a $K$ in $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $5$ a $K$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$