Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} - e^{2}}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{2 + h} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{2 + h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} 2 + h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{e^{2 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $e^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{e^{2 + lim_{h \to 0} h} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{e^{2 + 0} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{e^{2} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $e^{2}$ da $e^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} - e^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h} - e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h} - e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 + h} - e^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [e^{2 + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [e^{2 + h}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = 2 + h$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $2$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $e^{2 + h}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- e^{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- e^{2}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $e^{2 + h}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $e^{2 + h}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{2 + h}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{h \to 0} 2 + h}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$e^{2 + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$e^{2 + 0}$

Passaggio 4

Somma $2$ e $0$ .

$e^{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{2}$

Forma decimale:

$7.38905609 \dots$