Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \sqrt{2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 2 + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $5$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2

Combina.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 7.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 \cdot (5^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $5^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 7.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Forma decimale:

$3.39344662 \dots$

Passaggio 9