Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 4

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.2.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} - 0)$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (\frac{1}{3} + 0)$

Passaggio 5.2.5

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3})$

Passaggio 5.2.6

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3}$

Passaggio 5.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$1$