Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sqrt{1 + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.5.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 1.3.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Passaggio 1.3.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Passaggio 1.3.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Passaggio 1.3.5.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Passaggio 1.3.5.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Passaggio 1.3.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))}$

Passaggio 1.3.5.12

Somma $0$ e $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Passaggio 1.3.5.13

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Passaggio 1.3.5.14

$2$ e $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Passaggio 1.3.5.15

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Passaggio 1.3.5.16

Sposta ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.3.5.17

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.3.5.18

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x})$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x})$

Passaggio 1.6

Combina i fattori.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Passaggio 1.6.2

$- 2$ e $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Passaggio 1.6.3

$x$ e $\frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Passaggio 1.7.2

Dividi $- 2 \sqrt{1 + x^{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{1 + x^{2}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$- 2 \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 4.2

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Passaggio 4.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$