Calcolo Esempi

$y = \ln (\sec (x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 3.6.1.1

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Passaggio 3.6.1.2

Riscrivi $\cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Passaggio 3.6.1.3

Elimina i fattori comuni.

$1 \tan (x)$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x)$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \tan (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$