Calcolo Esempi

$x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$