Calcolo Esempi

$y = \cos (2 x - 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 6$ .

$- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$- \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x - 6)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (2 x - 6)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 6$ .

$- 2 (\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x - 6)$