Calcolo Esempi

$\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 13

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 15

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 17

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 18

Moltiplica $\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 19

Semplifica i termini.

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Passaggio 19.1

Combina.

$\frac{2 (\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Passaggio 19.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 19.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Passaggio 19.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Passaggio 19.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Passaggio 20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{2 x}$

Passaggio 21

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 x}$

Passaggio 22

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Passaggio 23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Passaggio 24

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{2 x}$

Passaggio 24.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{2 x}$

Passaggio 25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{2 x}$

Passaggio 26

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{2 x}$

Passaggio 27

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 28

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2}$ e $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Passaggio 29

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 29.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Passaggio 29.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 30

Scomponi $2$ da $- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 31

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 31.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Passaggio 31.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 31.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 32

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 33

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.1.1

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 33.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 33.1.1.2

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $- \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 33.1.1.3

Scomponi $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ da $e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 33.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 33.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 33.2

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 33.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Passaggio 33.4

Combina.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Passaggio 33.5

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 33.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 33.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.5.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.6

Moltiplica $e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ per $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 33.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$