Calcolo Esempi

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x^{2} + x + 1$ per $1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

Passaggio 2.9

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

Passaggio 3.4.8

Somma $- 2 x$ e $x$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

Passaggio 3.4.9

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

Passaggio 3.4.10

Sottrai $x$ da $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

Passaggio 3.4.11

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 1 - 1$

Passaggio 3.4.12

Sottrai $1$ da $1$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 3.4.13

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$