Calcolo Esempi

$\cos (x y) = x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 2 x$

Passaggio 5.2

Somma $y \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- x \sin (x y)$ ciascun termine in $- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- x \sin (x y)$ ciascun termine in $- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$ .

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2}{- \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Frazioni separate.

$y' = \frac{2}{- 1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x y)}$ a $\csc (x y)$ .

$y' = \frac{2}{- 1} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Dividi $2$ per $- 1$ .

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.3.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - 2 \csc (x y) - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc (x y) - \frac{y}{x}$