Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Passaggio 1.4.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

Passaggio 1.4.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Passaggio 1.4.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Passaggio 1.4.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{3} + 0 + x^{2}$

Passaggio 1.5

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$