Calcolo Esempi

$y = \ln (t \cdot 5^{t})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t \cdot 5^{t}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $5^{t}$ per $1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$t$ e $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.2

$5^{t}$ e $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.3

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ e $\ln (5)$ .

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $5^{t}$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $t$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $\ln (5)$ per $1$ .

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Passaggio 5.2.6

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ e $5^{t}$ .

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $5^{t}$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Passaggio 5.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$