Calcolo Esempi

$\sqrt{4 + x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{4 + x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = 2 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4$ da $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.5

Rimetti in ordine i termini.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi $4 \sec^{2} (t)$ come ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sposta $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $\sec^{2} (t)$ per $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Passaggio 5.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Passaggio 9

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 10

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 12.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Passaggio 13

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Passaggio 14

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 14.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 15

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 16

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 18

Somma $1$ e $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 19

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Passaggio 20

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Passaggio 21

Somma $2$ e $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 22

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 23

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 24

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 25

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 25.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 26

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Passaggio 27

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Passaggio 28

Semplifica.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 30

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{x}{2})$ . Perciò, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ è $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.6

Riscrivi $\frac{4 + x^{2}}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.6.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.8

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.9

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.10

Combina.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.6

Riscrivi $\frac{4 + x^{2}}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.12.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.6.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.7

Estrai i termini dal radicale.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.8

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12.9

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Passaggio 31.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Passaggio 31.1.14

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Passaggio 31.2

Per scrivere $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Passaggio 31.3

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Passaggio 31.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 31.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Passaggio 31.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Passaggio 31.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 31.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Passaggio 32

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

Passaggio 33

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$