Calcolo Esempi

$y = x^{\sin (2 x + 1)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\sin (2 x + 1)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $x^{\sin (2 x + 1)}$ come $e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}]$

Passaggio 3.1.2

Espandi $\ln (x^{\sin (2 x + 1)})$ spostando $\sin (2 x + 1)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (2 x + 1)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Passaggio 3.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Passaggio 3.5

$\sin (2 x + 1)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Passaggio 3.7

Differenzia.

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Passaggio 3.7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 3.7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 3.7.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 3.7.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + 0)))$

Passaggio 3.7.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \cdot 2))$

Passaggio 3.7.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x + 1)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (2 \cdot \cos (2 x + 1)))$

Passaggio 3.8

Per scrivere $\ln (x) (2 \cos (2 x + 1))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \frac{\ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x})$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$

Passaggio 3.10

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ e $\frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x)}{x}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + 2 \ln (x) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Passaggio 3.11.1.1.2

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Passaggio 3.11.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Passaggio 3.11.1.3

Riordina i fattori in $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + x e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1)}{x}$

Passaggio 3.11.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Passaggio 3.11.3

Scomponi $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ da $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

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Passaggio 3.11.3.1

Scomponi $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ da $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ da $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Passaggio 3.11.3.3

Scomponi $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ da $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$