Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = e^{x} - e^{- x}$ . Allora $d u_{2} = (e^{x} + e^{- x}) d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = e^{x} - e^{- x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.1.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.4.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 1.1.4.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$e^{x} - - e^{- x}$

Passaggio 1.1.4.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 1.1.4.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x} - e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} - e^{- x} |) + C$