Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

Passaggio 3

Sposta $x^{- 3}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int x^{3} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{3} d x + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $5 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5 y$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y \int x d x + \int - \sqrt{x} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 9

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 11.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$