Calcolo Esempi

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 + \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 1 + \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \sin (x)$ .

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Passaggio 7

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$