Calcolo Esempi

$(x + 3) e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Scrivi $(x + 3) e^{- 2 x}$ come funzione.

$f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (x + 3) e^{- 2 x} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x + 3$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 5

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riscrivi $(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ come $- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$\frac{e^{- 2 x}}{2}$ e $x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 13.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 15

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$