Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x^{3} - 2$ . Allora $d u = 9 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x^{3} - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x^{3} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{9}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}} \cdot 9} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{9 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{9}$ e $3$ .

$\frac{3}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta $u^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Passaggio 5.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{3} - 2$ .

${(3 x^{3} - 2)}^{\frac{1}{3}} + C$