Calcolo Esempi

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.7

$\cos (\frac{x}{3})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.8

$- 5$ e $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ e $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Passaggio 2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Passaggio 2.3.2.2

$\sin (\frac{x}{3})$ e $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $\sin (\frac{x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $\cos (\frac{x}{3})$ per $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

$3$ e $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Semplifica $3 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4

Moltiplica $3 \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.4.1

$3$ e $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Passaggio 5.8

La soluzione dell'equazione $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Passaggio 7.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5}{9}$

Passaggio 8

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

Passaggio 9.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

Passaggio 9.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

Passaggio 9.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $15$ da $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- 20$ .

$y = - 20$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{9 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 11.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 11.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 11.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Passaggio 11.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Passaggio 11.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Passaggio 11.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

Passaggio 11.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{- 5}{9}$

Passaggio 11.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{9}$

Passaggio 12

$x = \frac{9 π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{9 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{9 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Passaggio 13.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Passaggio 13.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

Passaggio 13.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

Passaggio 13.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

Passaggio 13.2.1.4

Moltiplica $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

Passaggio 13.2.1.4.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $15$ da $5$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ è un minimo locale

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ è un massimo locale

Passaggio 15