Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

Passaggio 3

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ a $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ .

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

Passaggio 4

Sia $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- \frac{π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

Passaggio 5

$\csc^{2} (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{4}$ e $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$