Calcolo Esempi

$y = \arctan (\sqrt{x - 4})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 4}$ come ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$\frac{1}{1 + x - 4} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Passaggio 4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.10.3

Sposta ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.10.4

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x - 3}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 4.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.13

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + 0)$

Passaggio 4.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.14.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \cdot 1$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$