Calcolo Esempi

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} - 18 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3, 3$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 3$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

$\frac{1}{10}$ e $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

Passaggio 4.3.2.2

Per scrivere $81$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

Passaggio 4.3.2.3

$81$ e $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

Passaggio 4.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica $81$ per $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Somma $- 243$ e $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 3$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ è $(- 3, \frac{567}{10})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 3, \frac{567}{10})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $3$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.2

$\frac{1}{10}$ e $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

Passaggio 4.5.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

Passaggio 4.5.2.2

Per scrivere $- 81$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

Passaggio 4.5.2.3

$- 81$ e $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

Passaggio 4.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

Passaggio 4.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.5.1

Moltiplica $- 81$ per $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

Passaggio 4.5.2.5.2

Sottrai $810$ da $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

Passaggio 4.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

Passaggio 4.5.2.7

La risposta finale è $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $3$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ è $(3, - \frac{567}{10})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3, - \frac{567}{10})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.1$ nell'espressione.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 59.582$ e $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3.782$ .

$- 3.782$

Passaggio 6.3

Per $- 3.1$ , la derivata seconda è $- 3.782$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 7.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 7.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

Passaggio 7.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 9$ per $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.3

$27$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $27$ per $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

Passaggio 7.2.5.2

Somma $- 27$ e $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- \frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $20.25$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 3, 0)$ .

Crescente su $(- 3, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

Passaggio 8.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

Passaggio 8.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $- 27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 8.2.3

$- 27$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

Passaggio 8.2.5.2

Sottrai $108$ da $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

Passaggio 8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Passaggio 8.2.7

La risposta finale è $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

Passaggio 8.3

Per $\frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $- 20.25$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 3)$ .

Decrescente su $(0, 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.1$ nell'espressione.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $3.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $2$ per $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $55.8$ da $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $3.782$ .

$3.782$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $3.1$ , la derivata seconda è $3.782$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

Passaggio 11