Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 5}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} + 5}$ come ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

Passaggio 4.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

Passaggio 4.10.2

$2$ e $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

Passaggio 4.10.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$