Calcolo Esempi

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 2.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Passaggio 2.6.2

$- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Passaggio 2.6.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Passaggio 2.6.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 2.6.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Passaggio 2.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Passaggio 2.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Passaggio 2.6.4.2.4

Dividi $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ per $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Passaggio 2.6.5

Riordina i fattori in $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$