Calcolo Esempi

$f (x) = {(4 - 5 x)}^{4}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(4 - 5 x)}^{4} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 4 - 5 x$ . Allora $d u = - 5 d x$ , quindi $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 4 - 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $4 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 5 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{- 5} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{4} (- \frac{1}{5}) d u$

Passaggio 4.2

$u^{4}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{u^{4}}{5} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{u^{4}}{5} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{5} \int u^{4} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- \frac{1}{5} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ come $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 \cdot 5} u^{5} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- \frac{1}{25} u^{5} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - 5 x$ .

$- \frac{1}{25} {(4 - 5 x)}^{5} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(4 - 5 x)}^{4}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{25} {(4 - 5 x)}^{5} + C$