Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x}{e^{x}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

$6$ e $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.4

Scomponi $6 e^{x}$ da $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $6 e^{x}$ da $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $6 e^{x}$ da $6 e^{x}$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $6 e^{x}$ da $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ .

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $6 e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Passaggio 6.5.2.4

Dividi $6 e^{- x} (- x + 1)$ per $1$ .

$6 e^{- x} (- x + 1)$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 6.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 6.8

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Passaggio 6.9

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Passaggio 6.10

Riordina i fattori in $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ .

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$