Calcolo Esempi

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Allora $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , quindi $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 4.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 4.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $e^{- x}$ da $0$ .

$- e^{- x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$