Calcolo Esempi

$\frac{1}{\sin (2 x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{\sin (2 x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin (2 x)} d x$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$\int \csc (2 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

$\csc (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\csc (u)}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \csc (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\csc (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \csc (u) - \cot (u) |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (2 x) - \cot (2 x) |) + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| \csc (2 x) - \cot (2 x) |) + C$