Calcolo Esempi

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x + y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.5

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\cos (x + y)$ per $1$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

Passaggio 4.2

Somma $y^{2} - \cos (x + y)$ e $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y)$