Calcolo Esempi

$y = (- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 - 9 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 - 9 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 6 + x - 6 x^{2}$ e $g (x) = - 9 - 9 x$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 9 - 9 x] + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 9 - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 9 x] + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 \cdot 1) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \cdot - 9 + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $- 6 + x - 6 x^{2}$ .

$- 9 \cdot (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 + x - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Passaggio 3.2.8

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Passaggio 3.2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Passaggio 3.2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Passaggio 3.2.11

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 6 (2 x))$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 12 x)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 12 x)$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) \cdot 1 + (- 9 - 9 x) (- 12 x)$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 + (- 9 - 9 x) (- 12 x)$

Passaggio 3.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Passaggio 3.3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica $- 9$ per $- 6$ .

$54 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $- 6$ per $- 9$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Passaggio 3.3.5.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Passaggio 3.3.5.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Passaggio 3.3.5.5

Moltiplica $- 12$ per $- 9$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x - 9 x (- 12 x)$

Passaggio 3.3.5.6

Moltiplica $- 12$ per $- 9$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x \cdot x$

Passaggio 3.3.5.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 (x^{1} x)$

Passaggio 3.3.5.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 (x^{1} x^{1})$

Passaggio 3.3.5.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.5.10

Somma $1$ e $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.11

Somma $- 9 x$ e $108 x$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 + 99 x + 108 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.12

Sottrai $9$ da $54$ .

$- 9 x + 54 x^{2} + 45 + 99 x + 108 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.13

Somma $- 9 x$ e $99 x$ .

$90 x + 54 x^{2} + 45 + 108 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.14

Somma $54 x^{2}$ e $108 x^{2}$ .

$90 x + 162 x^{2} + 45$

Passaggio 3.3.6

Riordina i termini.

$162 x^{2} + 90 x + 45$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 162 x^{2} + 90 x + 45$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 162 x^{2} + 90 x + 45$