Calcolo Esempi

$y = 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2^{5 x}$ e $g (x) = 3^{4 x^{2}}$ .

$2^{5 x} \frac{d}{d x} [3^{4 x^{2}}] + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x^{2}$ .

$2^{5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$2^{5 x} (3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x^{2}$ .

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2^{2} \cdot 2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (2 x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 6

Moltiplica $2^{2 + 5 x}$ per $2$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $2$ .

$2 \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2^{2 + 5 x}$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 6.3

Somma $1$ e $2$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \cdot 1))$

Passaggio 8.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \cdot 5)$

Passaggio 8.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $2^{5 x} \ln (2)$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (5 \cdot (2^{5 x} \ln (2)))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riordina i termini.

$3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$

Passaggio 9.2

Riordina i fattori in $3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$ .

$x \cdot 3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$