Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{3}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.4

$- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.6

$\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.7.2.4

Dividi $- 3 x^{4}$ per $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 35$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 35 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ e $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{3}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $36$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 105$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 105 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 105 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 (2 x)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 105$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 210 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- \frac{3}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.4

$- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.6

$\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.7.2.4

Dividi $- 3 x^{4}$ per $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 35$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 35 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 3 x^{2}$ da $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 3 x^{2}$ da $- 3 x^{4}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 3 x^{2}$ da $36 x^{3}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 105 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 3 x^{2}$ da $- 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 3 x^{2}$ da $- 3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} (- 12 x)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 3 x^{2}$ da $- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} (35)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 12 x + 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $35$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 7, - 5$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 3 x^{2} ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$ vera.

$x = 0, 7, 5$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 7, 5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(0)}^{3} + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 108 \cdot 0 - 210 \cdot 0$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $108$ per $0$ .

$0 + 0 - 210 \cdot 0$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 210$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{4} + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 \cdot - 8 - 105 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $36$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.1.6

Moltiplica $- 105$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 420$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $288$ da $- 48$ .

$f' (- 2) = - 336 - 420$

Passaggio 10.2.2.2.2

Sottrai $420$ da $- 336$ .

$f' (- 2) = - 756$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 756$ .

$- 756$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, 5)$ nella derivata prima $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{4} + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f' (2) = - 48 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - 48 + 36 \cdot 8 - 105 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $36$ per $8$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 \cdot 4$

Passaggio 10.3.2.1.6

Moltiplica $- 105$ per $4$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 420$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Somma $- 48$ e $288$ .

$f' (2) = 240 - 420$

Passaggio 10.3.2.2.2

Sottrai $420$ da $240$ .

$f' (2) = - 180$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 180$ .

$- 180$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(5, 7)$ nella derivata prima $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - 3 {(6)}^{4} + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f' (6) = - 3 \cdot 1296 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1296$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 \cdot 216 - 105 {(6)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $36$ per $216$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 {(6)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 \cdot 36$

Passaggio 10.4.2.1.6

Moltiplica $- 105$ per $36$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 3780$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Somma $- 3888$ e $7776$ .

$f' (6) = 3888 - 3780$

Passaggio 10.4.2.2.2

Sottrai $3780$ da $3888$ .

$f' (6) = 108$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $108$ .

$108$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $10$ , dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata prima $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = - 3 {(10)}^{4} + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $4$ .

$f' (10) = - 3 \cdot 10000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $10000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 \cdot 1000 - 105 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $36$ per $1000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.5

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 \cdot 100$

Passaggio 10.5.2.1.6

Moltiplica $- 105$ per $100$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 10500$

Passaggio 10.5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Somma $- 30000$ e $36000$ .

$f' (10) = 6000 - 10500$

Passaggio 10.5.2.2.2

Sottrai $10500$ da $6000$ .

$f' (10) = - 4500$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $- 4500$ .

$- 4500$

Passaggio 10.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 5$ , allora $x = 5$ è un minimo locale.

$x = 5$ è un minimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 7$ , allora $x = 7$ è un massimo locale.

$x = 7$ è un massimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ .

$x = 5$ è un minimo locale

$x = 7$ è un massimo locale

$x = 5$ è un minimo locale

$x = 7$ è un massimo locale

Passaggio 11