Calcolo Esempi

$[8 (4^{x})]$

Passaggio 1

Scrivi $[8 (4^{x})]$ come funzione.

$f (x) = [8 (4^{x})]$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Passaggio 4

Rimuovi le parentesi.

$\int 8 (4^{x}) d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Passaggio 5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 3 + 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 3 + 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia.

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Passaggio 6.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 6.1.4

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7

$2^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $2^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$