Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x$

Passaggio 4

Dividi $3 x^{2} + 5 x - 1$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 4.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Passaggio 4.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 4.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - 6 x$

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 4.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$

Passaggio 4.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Passaggio 4.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $11 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Passaggio 4.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					+	$11 x$	-	$22$

Passaggio 4.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $11 x - 22$

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$

Passaggio 4.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$21$

Passaggio 4.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 3 x + 11 + \frac{21}{x - 2} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Passaggio 10

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , sposta $21$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 11

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| u |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$