Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\sqrt[3]{π}} x^{2} \cos (x^{3}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3}$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Passaggio 1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[3]{π}}^{3}$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{π}}^{3}$ come $π$ .

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Passaggio 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{π}$ come $π^{\frac{1}{3}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

Passaggio 1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π^{1}$

Passaggio 1.5.5

Semplifica.

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$\cos (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 5

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) - \sin (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) - 0)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) + 0)$

Passaggio 6.3

Somma $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (π)$

Passaggio 6.4

$\frac{1}{3}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{3}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0)}{3}$

Passaggio 7.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{3}$

Passaggio 7.2

Dividi $0$ per $3$ .

$0$