Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 2

Dividi $x^{3}$ per $x^{2} - 4$ .

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Passaggio 2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Passaggio 2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Passaggio 2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Passaggio 2.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

Passaggio 2.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

Passaggio 6

Sia $u = x^{2} - 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = x^{2} - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Passaggio 13.2

Per scrivere $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

Passaggio 13.3

$2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

Passaggio 13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 13.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 13.5.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

Passaggio 13.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$