Calcolo Esempi

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 6.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

Passaggio 11

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 13

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 14

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$