Calcolo Esempi

$y = 3 \sin^{2} (2 x^{3})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin^{2} (2 x^{3}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin^{2} (2 x^{3})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x^{3})$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (2 \sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (\sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (3 x^{2})$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$

Passaggio 3.5.4.2

Riordina i fattori di $36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$ .

$36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$