Calcolo Esempi

$\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$ come ${(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 3 x$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \cdot 1) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.11.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.11.3

Moltiplica $\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.11.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 \cdot {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} - 2 (- 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}}$ per $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{((2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x) {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.3

Sposta ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4

Moltiplica ${(2 x + 1)}^{2}$ per ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.1

Sposta ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 ({(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{2}) {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.5

Riordina i termini.

$\frac{- 2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Espandi $(2 x + 1) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 10.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.6.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.1.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.2.2

Somma $- 6 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.6.4

Somma $- 4 x$ e $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$