Calcolo Esempi

${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.1

${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 6.2.2

Sposta ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Passaggio 6.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Passaggio 6.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 6.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 6.7

Moltiplica.

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Passaggio 6.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \cos (x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$