Calcolo Esempi

$\int 8 {(4 x^{2} - 5)}^{9} x d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int {(4 x^{2} - 5)}^{9} x d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 x^{2} - 5$ . Allora $d u = 8 x d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 x^{2} - 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$8 \int u^{9} \frac{1}{8} d u$

Passaggio 3

$u^{9}$ e $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{u^{9}}{8} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{8} \int u^{9} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{8}$ e $8$ .

$\frac{8}{8} \int u^{9} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{8} \int u^{9} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int u^{9} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int u^{9} d u$ per $1$ .

$\int u^{9} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{9}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 5$ .

$\frac{1}{10} {(4 x^{2} - 5)}^{10} + C$