Calcolo Esempi

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Allora $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $\sec (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\cos (3 x)$ per $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 2.1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.1.6.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.1.7

Differenzia.

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Passaggio 2.1.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.7.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Passaggio 2.1.7.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Passaggio 2.1.8

Semplifica.

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Passaggio 2.1.8.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 2.1.8.1.1

Aggiungi le parentesi.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Passaggio 2.1.8.1.2

Riordina $\cos (3 x)$ e $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Passaggio 2.1.8.1.3

Riscrivi $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Passaggio 2.1.8.1.4

Elimina i fattori comuni.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Passaggio 2.1.8.3

Riscrivi $\tan (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Passaggio 2.1.8.4

$3$ e $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Passaggio 2.1.8.5

Frazioni separate.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Passaggio 2.1.8.6

Converti da $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Passaggio 2.1.8.7

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Passaggio 3

$u_{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Passaggio 5

$\frac{1}{3}$ e $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{3}$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ come $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$