Calcolo Esempi

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.4

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.5

$\tan^{2} (x)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.6

$\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Passaggio 3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Passaggio 3.8.2

Dividi $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ per $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica per $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Passaggio 4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Passaggio 4.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$\sec^{4} (x)$